Ajnštajnovo izvođenje Plankove formule

Shodno Borovoj teoriji, u atomu postoje energetski nivoi. Atomi mogu prelaziti iz jednog u drugo energetsko stanje. Tri su načina na koji se prelazi iz stanja u stanje mogu odigrati; ovde ćemo ih zvati a) Spontani prelaz, b) Prinudni prelaz i c) Indukovani prelaz.

Spontani prelaz podrazumeva skok elektrona sa gornjeg nivoa 2 na donji nivo 1 (Sl. 1). Smanji se energija atoma za iznos $E_{2}-E_{1}$. Emituje se foton energije $hf$. Verovatnoću odigravanja ovog procesa u jedinici vremena obeležimo sa $A_{\downarrow }$.

Sl. 1

Moguć je obrnuti proces. Atom se nalazi u polju zračenja na mestu gde je gustina zračenja $u\left(\omega ,T\right)$ koja zavisi od kružne učestanosti $\omega$ i temperature $T$. Elektron prelazi sa donjeg nivoa 1 na gornji nivo 2. Ovo povećanje energije atoma je prouzrokovano apsorpcijom fotona

Sl. 2

učestanosti $f$.Verovatnoću odigravanja ovog procesa u jedinici vremena obeležimo sa $P_{\uparrow }$. Verovatnoća je utoliko veća što je zračenje gušće, pa pišemo

$$P_{\uparrow }=B_{\uparrow }u$$

Ovde je konstanta proporcionalnosti $B_{\uparrow }$ Ajnštajnov koeficijent datog prinudnog prelaza.

Na kraju, indukovani prelaz (Sl. 3) odigrava se u istoj konfiguraciji (atom u polju zračenja) tako što elektron skače sa gornjeg nivoa na donji „dirigovano”. Pod uticajem zračenja gustine $u\left(\omega ,T\right)$.

Sl. 3

I verovatnoća ovog procesa je proporcionalna gustini zračenja

$$P_{\downarrow }=B_{\downarrow }u.$$

Rađa se foton koji ima sve osobine kao i foton koji ga je indukovao. Tu podudarnost karakteristika zovemo koherencija. I koeficijent $B_{\downarrow }$ zove se Ajnštajnov koeficijent.

U stvari, sva tri koeficijenta, $A_{\downarrow }$, . $B_{\uparrow }$, $B_{\downarrow }$, označavaju se često u literaturi kao Ajnštajnovi koeficijenti. Oni govore o osobinama zračećeg sistema, ne i o okolnostima koje vladaju u datoj sredini, pa možemo reći da Ajnštajnovi koeficijenti ne zavise od temperature.

Dalje ćemo se pozabaviti uprošćenim modelom supstancije u kojoj atomi imaju samo dva nivoa (Sl. 4). Supstancija je u šupljini u kojoj je gustina zračenja $u\left(\omega ,T\right)$.

Sl. 4 Šupljina sa atomima u kojoj je gustina zračenja $u\left(\omega ,T\right)$

U posmatranom trenutku, možemo reći da $N_{2}$ atoma ima energiju $E_{2}$ , eksitovano je, elektroni su na gornjem nivou 2. To znači da je $N_{1}$ atoma u osnovnom stanju s energijom $E_{1}$.

Po Borovoj koncepciji, kad elektron pređe sa nivoa 2 na nivo 1 emituje se foton učestanosti

$$\omega =\frac{E_{2}-E_{1}}{\hbar }.$$

Brzina prinudnih prelaza na nivo 2 je onda

$$N_{\uparrow }=B_{\uparrow }uN_{1}.$$

Broj prelaza sa 2 na 1 je

$$N_{\downarrow }=B_{\downarrow }uN_{2}+A_{\downarrow }N_{2}.$$

U termodinamičkoj ravnoteži je

$$N_{\uparrow }=N_{\downarrow }.$$

Odmah se dobija

$$u=\frac{A_{\downarrow }}{B_{\uparrow }\frac{N_{1}}{N_{2}}-B_{\downarrow }}.$$

Po zakonima Bolcmanove raspodele dužni smo pretpostaviti da je

$$N_{1}=N_{0}e^{-E_{1}/kT},$$ $$N_{2}=N_{0}e^{-E_{2}/kT}.$$

Ukupan broj atoma označen je sa $N_{0}$. Odavde vidimo da je količnik brojeva stanja

$$\frac{N_{1}}{N_{2}}=e^{\left(E_{2}-E_{1}\right)/kT}=e^{\hbar \omega /kT}.$$

Međusobni odnos Ajnštajnovih koeficijenata moguće je odrediti razmišljajući o graničnim vrednostima. Tako, pri beskonačnom uvećanju temperature, neograničeno raste i gustina zračenja. To je moguće ako prihvatimo zahtev $B_{\uparrow }=B_{\downarrow }$. Tako dobijamo

$$u=\frac{A}{B}\frac{1}{e^{\hbar \omega /kT}-1}.$$

Ova formula bi morala biti u skladu sa Rejli-Džinsovom dugotalasnom aproksimacijom ($\hbar \omega \ll kT$). Tako nalazimo

$$\frac{A}{B}\to \frac{2\hbar }{\pi c^{3}}\omega ^{3}.$$

Vidimo da je konačno

$$u\left(\omega ,T\right)=\frac{2\hbar }{\pi c^{3}}\omega ^{3}\frac{1}{e^{\hbar \omega /kT}-1}=\frac{8\pi f^{2}}{c^{3}}\frac{hf}{e^{hf/kT}-1}.$$

Možemo napisati i formulu za $\varphi \left(f,T\right)$, univerzalnu Kirhofovu funkciju, spektralnu emisionu sposobnost apsolutno crnog tela. Budući da je

$$\varphi \left(f,T\right)=\frac{c}{4}u\left(f,T\right) \tag{1.14}$$

Dospevamo do formule

$$\varphi \left(f,T\right)=\frac{2\pi f^{2}}{c^{2}}\frac{hf}{e^{hf/kT}-1}, \tag{1.15}$$

Ovo je dobro poznata, slavna Plankova formula! Ako želimo da damo zavisnost od talasne dužine, treba da izvršimo transformaciju

$$\left|\varphi \left(\lambda ,T\right)\right|=\left|\varphi \left(f,T\right)\frac{df}{d\lambda }\right|. \tag{1.16}$$

Pošto je $f=c/\lambda$, nalazimo traženi izvod

$$\frac{df}{d\lambda }=-\frac{c}{\lambda ^{2}}. \tag{1.17}$$

Onda možemo da pišemo

$$\varphi \left(\lambda ,T\right)=\frac{2\pi c^{2}h}{\lambda ^{5}}\frac{1}{e^{hc/\left(k\lambda T\right)}-1}. \tag{1.18}$$

Primetimo: 1) U izvođenju bitna je Ajnštajnova ideja da postoji prinudni prelaz u atomu. 2) Idejom o prinudnom zračenju jasno je nagoveštena ideja laserskog efekta.