Borova fizika

J e d a n a e s t o p r e d a v a nj e

BOROVA FIZIKA

Rani modeli atoma

U Njutnovo vreme, i zadugo potom, mnogi fizičari su zamišljali da je atom mala, nerazrušiva sfera. Ovaj grubi model je pomogao napretku fizike, posebno razvoju kinetičke teorije gasova. Kad je otkrivena električna priroda atoma, Dž. Dž. Tomson (1856 — 1940) je dao finiji model atoma: negativno naelektrisane čestice elektroni uronjeni u pozitivno naelektrisan prostor:

Sl. 1 Tomson i njegov model atoma:

Elektroni u atomu kao semenke u lubenici

Godine 1911. izvodi Raderford (1871 — 1937) eksperimente koji dovode u sumnju Tomsonov model. Pogledajmo šemu Raderfordovih merenja:

Sl. 2 Raderfordov metod posmatranja rasejanja alfa čestica

Pozitivno naelektrisane čestice, $\alpha -$ čestice (one su sastavljene od dva protona i dva neutrona), iz izvora (radioaktivni preparat) usmeravaju se na metu kroz otvor na olovnoj ploči. Meta je tanka metalna folija. Na ekranu za posmatranje se vidi gde čestice padaju posle prolaska kroz foliju. Većina čestica ne skreću sa prvobitnog pravca, ili skreću malo. Ali, neke čestice skrenu primetno. Pojedine čestice se čak odbijaju, idu nazad.

Raderford je protumačio da je svo pozitivno naelektrisanje atoma smešteno u malu zapreminu u centru atoma; tu oblast je nazvao jezgro, nukleus. Elektroni su onda okolo, u ostatku atoma i kruže oko jezgra, kao planete oko Sunca. Zato je i nazvan Raderfordov planetarni model atoma.

Sl. 3. Planetarni model atoma (levo). Teškoća planetarnog modela (desno):

kružeći, elektron zrači i na kraju pada u jezgro

Ovaj model su pratile dve zamerke. Prvo, model ne objašnjava karakteristične spektre zračenja iz atoma. Drugo, elektron koji kruži ima centripetalno ubrzanje; po Maksvelovoj teoriji, takva ubrzana čestica mora da zrači na učestanosti kruženja. Dok zrači, elektron gubi energiju i smanjuje mu se radijus rotacije — dok pada, raste mu učestanost kruženja te sve više energije izrači. Zaključak je: na kraju elektron gubi energiju i pada na jezgro — Tomsonov atom je nestabilan! A mi smo svedoci da je atom vodonika stabilan.

Ovaj model unapredio je danski fizičar Nils Bor (1885 — 1962). On je zaključio da klasična teorija zračenja ne važi za atom. Elektroni kruže na odabranim orbitama, to su stacionarna stanja elektrona u atomu. Pogledajmo detalje:

Opitna baza atomske fizike na početku 20. veka

Atom vodonika je najjednostavniji. Važno je shvatiti njegovu građu. To znanje je onda temelj za shvatanje građe i složenijih atomskih sistema.

Zamislimo da je u staklenoj cevi vodonik (ili drugi neki gas). Izazovimo električno pražnjenje u cevi (proticanje električne struje). Opažamo: gas emituje svetlost. Kad ovu svetlost propustimo kroz spektroskop, vidimo niz diskretnih linija u spektru — on se zove emisioni spektar. Talasne dužine pojedinih linija karakteristične su za dati gas. Dajemo primere na Sl. 4.

Sl. 4 Vidljivi spektri. Linijski spektri dobijeni emisijom

u vidljivoj oblasti za vodonik, živu i neon

Skala talasnih dužina je u nanometrima. Zanimljivi rezultati se dobijaju i snimanjem apsorpcionih spektara. Apsorpcioni spektar vodonika dat je na Sl. 5.

Sl. 5 Vidljivi spektri. Apsorpcioni spektar za vodonik. Tamna apsorpciona

linija leži na istoj talasnoj dužini kao i data emisiona linija za vodonik

Nema dva elementa sa istim spektrom; analiza spektara je moćan metod identifikacije elemenata u supstanciji. Ali, pre svega se pitamo, zašto su spektri linijski, i baš takvi?

Emisioni spektar vodonika dat je na donjoj slici, izdvojeno i sa više detalja:

Sl. 6 Balmerova serija spektralnih linija za atom vodonika

(Linija talasne dužine 364,6 nanometra je u ultraljubičastoj oblasti)

Švajcarac Balmer (1825 — 1898) je 1885. godine našao da se talasne dužine ovog spektra savršeno uklapaju u formulu

$$\frac{1}{\lambda }=R_{\text{H}}\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right). \tag{1}$$

Formula je empirijska i danas poznata kao Balmerova formula. Broj $n$ je prirodni broj jednak tri, ili veći od tri. Konstanta $R_{\text{H}}$ je nazvana po Ridbergu (1854 — 1919); izmerena je njena vrednost, $R_{\text{H}}=1,01\times 10^{7}\text{m}^{-1}$.

Apsorpcioni spektar se dobija kad svetlosni snop kontinualnog spektra upravimo na gas, pa snimamo spektar koji je preostao posle prolaska kroz gas; tamo vidimo niz tamnih linija dodate na ostatak spektra. Fizičare je zanimalo, zašto su i apsorpcioni spektri linijski? Posebno, zašto se apsorbuju one linije koje se i zrače iz atoma?

Borovi postulati

Pomak u tumačenju atoma dao je Nils Bor. Posmatrajmo na Sl. 7 teorijsku šemu strukture atoma vodonika koju on predlaže:

Sl. 7 Dijagram uz Borov model vodonikovog atoma;

Tretirajući slabosti planetarnog modela atoma i uvažavajući eksperimentalnu bazu fizike njegovog doba, Bor je došao do sledećih važnih zaključaka, koje tretiramo kao postulate nove, Borove teorije:

Prvi postulat

Drugi postulat

Treći postulat

Kakva se teorija može izgraditi na ovakvim temeljima, i kakve zaključke ona donosi?

Analiza Borovog modela

U skladu sa postulatima, pristupamo sada analizi modela atoma. Električna potencijalna energija sistema sa Sl. 7 iznosi

$$U_{\text{e}}=-k_{\text{e}}\frac{e^{2}}{r}. \tag{2}$$

Ovde ćemo $k_{\text{e}}=1/4\pi \varepsilon _{0}$ zvati Kulonova konstanta. Ukupna energija atoma je

$$E=\frac{1}{2}m_{\text{e}}v^{2}-k_{\text{e}}\frac{e^{2}}{r}. \tag{3}$$

(Uporedite ovo sa formulom za gravitacionu energiju u lekciji o gravitaciji.) Po II Njutnovom zakonu je za rotaciju elektrona moguće napisati

$$k_{\text{e}}\frac{e^{2}}{r^{2}}=m_{\text{e}}\frac{v^{2}}{r}, \tag{4}$$

(centripetalnu sile obezbeđuje Kulonova privlačna sila). Zbog toga se kinetička energija može izraziti ovako:

$$E_{\text{k}}=\frac{1}{2}m_{\text{e}}v^{2}=k_{\text{e}}\frac{e^{2}}{2r}. \tag{5}$$

Ukupna energija atoma je onda, prema izrazu (3)

$$E=-k_{\text{e}}\frac{e^{2}}{2r}. \tag{6}$$

Energija je negativna, to znači da imamo vezani sistem elektrona i protona; drugim rečima, mora se dodati energija u iznosu od $k_{\text{e}}e^{2}/2r$ tek da se otrgne elektron iz datog atomskog sistema.

Iz gornjih jednačina i drugog postulata odmah sledi

$$r_{\text{n}}=\frac{n^{2}\hbar ^{2}}{m_{\text{e}}k_{\text{e}}e^{2}}. \tag{7}$$

Iz ove formule izračunavaju se radijusi Borovih orbita za vodonik. Oni su diskretni, ili kvantovani. Najmanji radijus je za $n=1$; on se zove Borov radijus $a_{0}$; vidimo da je

$$a_{0}=\frac{\hbar ^{2}}{m_{\text{e}}k_{\text{e}}e^{2}}=0,0529\;\text{nm}. \tag{8}$$

(Naslućujemo uspeh ideje: od ranije su fizičari znali da je prečnik atom reda veličine jednog angstremna! Setimo se: jedan angstrem je deseti deo nanometra.) Prve tri Borove orbite proporcionalno su skicirane na Sl. 8. Sad lako nalazimo i dozvoljene energije; i one su kvantovane:

$$E_{\text{n}}=-k_{\text{e}}\frac{e^{2}}{2a_{0}}\left(\frac{1}{n^{2}}\right). \tag{9}$$

Sl. 8 Prve tri Borove orbite za vodonik

Odavde se može dobiti numerička formula za energije datih orbita

$$E_{\text{n}}=-\frac{13,6}{n^{2}}\;\text{eV}. \tag{10}$$

Stanje za $n=1$ zove se osnovno stanje. Njemu pripada energija $E_{1}=-13,6\;\text{eV}$. Prvo eksitovano stanje je za $n=2$. Za njega je $E_{2}=-3,4\;\text{eV}$. Dole vidimo energija-nivo dijagram atoma vodonika:

Sl. 9 Dijagram energetskih nivoa za vodonik.

Diskretne dozvoljene energije nacrtane su po

vertikalnoj osi. Ništa nije naneto po horizontalnoj

osi, već je crtež proširen da pokaže dozvoljene

prelaze. Kvantni brojevi su dati na levo.

Najmanja energija potrebna da se jonizuje atom (ukloni elektron sa osnovnog stanja od uticaja protona) zove se jonizaciona energija. Po Boru, jonizaciona energija za vodonik je $13,6\;\text{eV}$, tačno koliko daju i merenja! To je jedno od glavnih dostignuća Borove teorije. Na slici su naznačene i druge moguće spektralne serije (Lajmanova, Pašenova…), ne samo Balmerova.

Izvođenje Balmerove formule

Borova teorija omogućava da se izvede Balmerova formula. U skladu sa trećim postulatom pišemo za energiju fotona

$$hf=E_{\text{početna}}-E_{\text{finalna}}. \tag{11}$$

Pomoću veze $c=\lambda f$ dobijamo odavde

$$\frac{1}{\lambda }=\frac{f}{c}=k_{\text{e}}\frac{e^{2}}{2a_{0}hc}\left(\frac{1}{n_{\text{finalno}}^{2}}-\frac{1}{n_{\text{pocetno}}^{2}}\right). \tag{12}$$

Ako stavimo da je

$$R_{\text{H}}=k_{\text{e}}\frac{e^{2}}{2a_{0}hc} \tag{13}$$

vidimo da je gornji izraz (12) baš Balmerova formula, generalizovana da obuhvati sve serije linija. Bor je pokazao da može da reprodukuje vrednost Ridbergove konstante s ogromnom tačnošću, od oko 1%. To je zbilja trijumf novih ideja koje je pokrenuo Nils Bor!

Nova, kvantna fizika počela je tako svoj pobedonosni put. Koncepcija prelaza između energetskih nivoa vodonika objašnjava spektre, što je bilo zagonetno u ranim modelima atoma. Jednom jonizovan helijum je Bor uspešno tretirao na gornji način i objasnio neke linije u sunčevoj svetlosti.

Borova teorija ipak nije mogla da objasni komplikovanije atome, kao ni fine detalje u spektru vodonika. Taj zadatak morale su da rešavaju potonje generacije fizičara. O tome ovde nećemo govoriti.

Borov princip korespondencije (Po izboru)

Njutnova mehanika je specijalni slučaj relativističke mehanike; kada se telo kreće mnogo sporije od brzine svetlosti, relativističke formule se podudaraju sa klasičnim formulama; na primer, ajnštajnovska kinetička energija postaje jednaka polovini proizvoda mase mirovanja i kvadrata brzine. Nešto slično se može reći i za kvantnu mehaniku:

Ovo je Borov princip korespondencije.

Po klasičnoj slici zračenja, učestanost koju emituje atom jednaka je učestanosti kruženja elektrona na datoj orbiti atoma. Pokazuje se da, praktično, istu učestanost imamo i po Borovom modelu, kad je, na primer, $n>10000$. Pri tako velikim kvantnim brojevima zanemarljiva je razlika energija između dva susedna nivoa. Pogledajmo detalje.

Kad se desi prelaz sa orbite $N+1$ na prvu donju orbitu, učestanost spektralne linije iznosi po Borovoj teoriji

$$f_{\text{B}}=k_{\text{e}}\frac{e^{2}}{2a_{0}h}\left(\frac{1}{N^{2}}-\frac{1}{\left(N+1\right)^{2}}\right). \tag{14}$$

Po klasičnoj fizici, za učestanost imamo formulu

$$f_{\text{KF}}=\frac{1}{T}=\frac{v_{\text{N}}}{2\pi r_{\text{N}}}. \tag{15}$$

Drugi Borov postulat daje mogućnost da pišemo $m_{\text{e}}vr=n\hbar$, a onda je

$$v_{\text{N}}=\frac{N\hbar }{m_{\text{e}}r_{\text{N}}}. \tag{16}$$

Istovremeno znamo da je $r_{\text{N}}=N^{2}\hbar ^{2}/m_{\text{e}}k_{\text{e}}e^{2}$. Zato je odmah

$$f_{\text{KF}}=\frac{m_{\text{e}}k_{\text{e}}^{2}e^{4}}{2\pi N^{3}\hbar ^{3}}. \tag{17}$$

Sada napravimo količnik $f_{\text{B}}/f_{\text{KF}}$. Neposrednim zamenama dobijamo:

$$\frac{f_{\text{B}}}{f_{\text{KF}}}=\frac{k_{\text{e}}\frac{e^{2}}{2a_{0}h}\left(\frac{1}{N^{2}}-\frac{1}{\left(N+1\right)^{2}}\right)}{\frac{m_{\text{e}}k_{\text{e}}^{2}e^{4}}{2\pi N^{3}\hbar ^{3}}}. \tag{18}$$

Sredimo ovaj izraz; u prvom koraku imamo:

$$\frac{f_{\text{B}}}{f_{\text{KF}}}=\frac{\hbar ^{2}}{2a_{0}m_{\text{e}}k_{\text{e}}e^{2}}\frac{2+\frac{1}{N}}{\left(1+\frac{1}{N}\right)^{2}}. \tag{19}$$

Pošto je $a_{0}=\hbar ^{2}/m_{\text{e}}k_{\text{e}}e^{2}$, izračunavamo da je

$$\frac{\hbar ^{2}}{2a_{0}m_{\text{e}}k_{\text{e}}e^{2}}=\frac{1}{2}. \tag{20}$$

Tako stižemo do rezultata

$$\frac{f_{\text{B}}}{f_{\text{KF}}}=\frac{1}{2}\frac{2+\frac{1}{N}}{\left(1+\frac{1}{N}\right)^{2}}. \tag{21}$$

Veličina sa desne strane teži jedinici, kad se $N$ neograničeno uvećava. Tako se uveravamo da je u granici, za velike vrednosti kvantnog broja,

$$f_{\text{B}}\to f_{\text{KF}} \tag{22}$$

A to i jeste sadržaj Borovog principa korespondencije.

Značaj izučavanja atoma vodonika

Kada govorimo o osnovama kvantne mehanike i atomske fizike, često govorimo o atomu vodonika. Postoje duboki razlozi za to.

Prvo, mnogo od onog što naučimo o vodoniku, možemo preneti na znanje o jonima sa jednim elektronom (jon helijuma, dvostruko jonizovan litijum, i sl).

Drugo, atom vodonika je idealan za eksperimentalno testiranje teorije i za sticanje uvida u strukturu atoma.

Treće, kvantni brojevi koji opisuju dozvoljena stanja vodonika mogu približno da opišu i dozvoljena stanja složenijih elemenata. Ovo pomaže da razumemo periodni sistem elemenata — a to je jedan od krupnijih trijumfa kvantne mehanike.

Četvrto, osnovne ideje građe atoma moraju se duboko razumeti pre nego pređemo na izučavanje složenijih sistema (molekula, čvrstog stanja i sl).

Puno matematičko rešenje Šredingerove jednačine primenjene na vodonik daje kompletan i divan opis vodonikovih osobina.

Kažu da su jednom postavili ovakvo pitanje nobelovcu Ričardu Fejnmanu (1918 — 1988): „Ako bi u nekoj kataklizmi ukupno naučno znanje bilo uništeno, a samo jedna rečenica ostala sačuvana da se prenese narednim generacijama, koji bi to iskaz preneo najviše informacija, a u najmanje reči?”.

Njegov odgovor je glasio: atomska hipoteza. Odnosno, činjenica da su „sve stvari sastavljene od atoma: malenih čestica u stalnom kretanju, koje se privlače na maloj razdaljini, a odbijaju pri većim gustinama”.

Domaći zadatak

a) Elektron u atomu vodonika prelazi sa druge orbite na prvu (osnovno stanje). Izračunati talasnu dužinu i učestanost emitovanog zračenja. (121,5 nm (ultravioletna oblast); $2,47\times 10^{15}$ Hz).

b) Izračunati talasnu dužinu ako elektron prelazi sa treće orbite u osnovno stanje. (102,6 nm.)

Rad: