Šredingerova jednačina

Oblik jednačine, jednodimenzioni slučaj

Za česticu koja se kreće po x osi, vremenski nezavisna Šredingerova jednačina glasi

$$\frac{d^{2}\psi }{dx^{2}}=-\frac{2m}{\hbar ^{2}}\left(E-U\right)\psi. \tag{1}$$

Ako je poznata potencijalna energija $U\left(x\right)$ moguće je u principu dobiti talasne funkcije i energije za dopuštena stanja. Jednačina se može rešavati deo po deo, ako tako zahteva priroda potencijalne energije. Funkcija se onda glatko spaja na mestima diskontinuiteta. Funkcija $\psi \left(x\right)$ mora, dakle, biti kontinualna. Normalizacija zahteva da ova funkcija iščezava u beskonačnosti. Takođe, funkcija $\psi \left(x\right)$ mora biti jednoznačna i njen prvi izvod treba da je kontinualan.

Rešavanje gornje jednačine može biti dosta komplikovano. Ova jednačina je vrlo uspešna u objašnjavanju atomskih i molekulskih sistema.

Primer rešavanja, čestica u jami

Neka je čestica u jami sa donje slike. Za $x=0$ i $x=L$ je $U\left(x\right)=\infty$ (zidovi su beskonačno visoki). Potencijalna energija je konstantna u jami, pa je pogodno da izaberemo $U=0$.

Dijagram jednodimenzione jame širine $L$,

sa beskonačno visokim zidovima.

Zato je u jami, s obzirom na (1)

$$\frac{d^{2}\psi }{dx^{2}}=-\frac{2mE}{\hbar ^{2}}\psi =-k^{2}\psi. \tag{2}$$

Stavili smo:

$$k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar }. \tag{3}$$

Čestica ne može biti van jame. Talasna funkcija mora biti nula na zidovima i van jame. Rešenje koje zadovoljava ove uslove je

$$\psi \left(x\right)=A\sin \left(kx\right). \tag{4}$$

Zahtev da je $\psi \left(L\right)=0$ dovodi do uslova $kL=n\pi$ ($n$ prirodan broj). Znači:

$$kL=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar }L=n\pi. \tag{5}$$

Dopuštene energije su:

$$E_{\text{n}}=\left(\frac{\hbar ^{2}}{8mL^{2}}\right)n^{2}. \tag{6}$$

Dopuštene talasne funkcije su:

$$\psi _{\text{n}}\left(x\right)=A\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right). \tag{7}$$

Ako normalizujemo ovaj izraz, dobićemo za amplitudu

$$A=\sqrt{\frac{2}{L}}. \tag{8}$$

Finalni izraz za talasnu funkciju čestice u jami je onda

$$\psi _{\text{n}}\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right). \tag{9}$$

Rezultati se slažu sa analizom koju smo uradili u odeljku o čestici u jami.