Zakoni održanja

Izolovani fizički sistem

Određen broj fizičkih zakona je fundamentalnog karaktera. Oni imaju univerzalni značaj, jer odražavaju nepromenljivost nekog bitnog svojstva u fizičkom sistemu. U ovom poglavlju ćemo upoznati takve zakone. Njih nazivamo zakoni održanja. Pomoću zakona održanja upoznajemo opšta svojstva kretanja, ne upuštajući se u detaljna izračunavanja kako se odigrava dati fizički proces tokom vremena.

Za izlaganje koje sledi važno je definisati izolovani fizički sistem. Tela nekog sistema mogu da interaguju kako međusobno, tako i sa telima koja ne pripadaju tom sistemu.

Sl. 1 Interakcija pet čestica u izolovanom fizičkom sistemu

Sistem na koji ne deluju nikakva okolna tela, ili je njihovo delovanje zanemarljivo, zovemo izolovani (ili zatvoreni) sistem.

Strogo govoreći, ovaj se uslov nikad ne postiže, ali je dosta situacija kad približno važi.

Zakon održanja impulsa

Neka se izolovani sistem sastoji samo od dva tela A i B, koja uzajamno interaguju u intervalu vremena $\Delta t$, dok prolaze jedno pored drugoga. Uzmimo još da su tela iste mase $m$ (to ograničenje nije bitno). Prvo telo u početnom položaju $A$ ima brzinu $\vec{v}_{\text{A}}$; posle intervala $\Delta t$, kao rezultat interakcije ima u položaju ${A'}$ brzinu ${\vec{v}'}_{\text{A}}$. Drugo telo u početnom položaju $B$ ima brzinu $\vec{v}_{\text{B}}$; posle istog intervala, ima u novom položaju ${B'}$ brzinu ${\vec{v}'}_{\text{B}}$.

U lekciji o zakonima kretanja obrazložili smo Njutnom zakon sile u obliku $\vec{F}_{\text{sr}}=\frac{\Delta \left(m\vec{v}\right)}{\Delta t}$. Zbog toga možemo da pišemo za srednju silu kojom telo A deluje na telo B u vremenskom intervalu $\Delta t$:

$$\vec{F}_{\text{AB}}=\frac{m{\vec{v}'}_{\text{B}}-m\vec{v}_{\text{B}}}{\Delta t}. \tag{1}$$

Sl. 2 Dva tela interaguju u izolovanom fizičkom sistemu

Takođe, sila kojom telo B deluje na telo A iznosi:

$$\vec{F}_{\text{BA}}=\frac{m{\vec{v}'}_{\text{A}}-m\vec{v}_{\text{A}}}{\Delta t}. \tag{2}$$

Prema trećem Njutnovom zakonu možemo pisati:

$$\vec{F}_{\text{AB}}=-\vec{F}_{\text{BA}}. \tag{3}$$

To znači da važi jednakost:

$$m{\vec{v}'}_{\text{A}}-m\vec{v}_{\text{A}}=-\left(m{\vec{v}'}_{\operatorname{B}}-m\vec{v}_{\operatorname{B}}\right). \tag{4}$$

Ukupni impuls sistema iznosio je pre interakcije:

$$\vec{p}=m\vec{v}_{\text{A}}+m\vec{v}_{\operatorname{B}}. \tag{5}$$

Ukupni impuls sistema iznosi posle interakcije:

$${\vec{p}'}=m{\vec{v}'}_{\text{A}}+m{\vec{v}'}_{\operatorname{B}}. \tag{6}$$

Iz relacije (4) onda zaključujemo

$${\vec{p}'}=\vec{p}. \tag{7}$$

Vidimo da se ukupni impuls sistema u ovim procesima nije promenio. U izolovanom sistemu, ukupni impuls se održava.

Ove rezultate možemo bez teškoća uopštiti na sistem više tela, svejedno jednakih ili različitih masa. Obeležavajući odgovarajuće impulse sa $\vec{p}_{1}$, $\vec{p}_{2}$, $\vec{p}_{3}$, …, $\vec{p}_{\text{n}}$, dobijamo:

$$\vec{p}_{1}+\vec{p}_{2}+\vec{p}_{3}+...+\vec{p}_{\text{n}}=\text{const}. \tag{8}$$

Očigledno da se ovakav zaključak odnosi samo na inercijalne sisteme referencije, jer u neinercijalnom sistemima dejstvuje inercijalna sila, koja nije unutrašnja sila. Ako sa $\vec{f}$ označimo rezultantnu spoljašnju silu koja deluje na dati izolovani fizički sistem, dolazi se do ovakvog rezultata:

$$\Delta \vec{p}=\vec{f}\Delta t. \tag{9}$$

Promena impulsa sistema određena je impulsom rezultantne spoljašnje sile. (Impuls sile se definiše kao proizvod sile i vremena njenog delovanja.) U skladu sa gornjim rezultatima, ako je $\vec{f}=0$ tada je sistem izolovan i važi $\Delta \vec{p}=0$, to jest $\vec{p}=\text{const}.$

Upečatljiva demonstracija zakona održanja može se postići pomoću uređaja skiciranog na Sl. 3. Dve kugle, jedna mase $m_{1}$ a druga mase $m_{2}$ spojene su oprugom; taj sistem miruje na postolju, jer

Sl. 3 Demonstracija zakona održanja impulsa

je opruga stegnuta koncem. Ukupni impuls sistema dve kugle i opruga jednak je, dakle, nuli. Kad konac prekinemo (sagorimo, na primer), kuglice se razlete u suprotnim smerovima, prva brzinom $\vec{v}_{1}$, a druga brzinom $\vec{v}_{2}$. Po zakonu održanja impulsa mora biti:

$$m_{1}\vec{v}_{1}+m_{2}\vec{v}_{2}=0. \tag{10}$$

Vidimo da su brzine obrnuto proporcionalne masama:

$$\frac{v_{1}}{v_{2}}=\frac{m_{2}}{m_{1}}. \tag{11}$$

Ta se proporcionalnost u opitu jasno ispoljava. Na slici je uzeto da je prva masa pet puta veća od druge, te je i domet horizontalnog hica na desnu stranu pet puta veći od onog na levu stranu.

Na osnovu jednačine (9), dolazi se do zaključka da sistem ne može da promeni svoj impuls samo pod dejstvom unutrašnjih sila. To znači da se automobil kreće pod dejstvom spoljašnjih sila, tj. kretanje je moguće jer postoji spoljašnja sila u obliku trenja između točkova i podloge druma. Po trećem Njutnovom zakonu, istom silom - uperenom na suprotnu stranu, vozilo deluje na podlogu i gura je na suprotnu stranu od svog kretanja. Impuls, koji dobija vozilo, jednak je impulsu koji dobija Zemlja. Uzimajući u obzir njihove mase, brzina Zemlje je zanemarljivo mala.

Na Zemlji se praktično ne može ostvariti izolovan sistem. Primeri se odnose na sisteme kod kojih su spoljašnje sile uravnotežene, ili se posmatranje vrši u referentnom sistemu vezanom za centar mase.

Centar mase

Zamislimo da je cela masa sistema koncentrisana u jednu specijalnu tačku koju zovemo centar mase sistema, a koja je određena radijus-vektorom

$$\vec{r}_{\text{C}}=\frac{1}{m}\sum\limits m_{\text{i}}\vec{r}_{\text{i}} \tag{12}$$

gde su $m_{\text{i}}$ i $r_{\text{i}}$ masa i radijus-vektor i-te čestice, a $m$ masa celog sistema. Nađimo brzinu centra mase:

$$\vec{v}_{\text{C}}=\mathop{\lim }\limits_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \vec{r}_{\text{C}}}{\Delta t}=\frac{1}{m}\sum\limits m_{\text{i}}\vec{v}_{\text{i}}. \tag{13}$$

Odavde je očevidno

$$\vec{p}=m\vec{v}_{\text{C}}. \tag{14}$$

Impuls sistema jednak je proizvodu mase sistema i brzine centra mase. Kad se impuls održava, održava se i brzina centra mase. Unutrašnje sile ne menjaju ovu brzinu. Centar mase kreće se jednoliko i pravolinijski, bez obzira kako se kreću tela izolovanog sistema. Brzinu centra mase mogu da promene samo spoljašnje sile. (Setimo se beskrajno zabavnog Minhauzena; ne možemo sami sebe, vukući za kosu, podići iz blata!)

Važi li uvek treći Njutnov zakon?

Posmatrajmo na Sl. 4 jedan proces iz mikrosveta: radioaktivno jezgro koje se raspada u toku kretanja.

Brzina centra mase čestica koje su nastale u datom momentu ista je kao pre raspada, u skladu sa merenjima i sa gore obrazloženim zakonom. Kad se ovako razmišlja o zakonu održanja impulsa, vidi se da on jeste uopštenje zakona inercije: materijalna tačka na koju ne deluju spoljašnje sile kreće se jednoliko i pravolinijski.

Eksperimenti nas uveravaju da zakon održanja impulsa nema izuzetaka: on važi i za makroskopska tela i u mikrosvetu. U vezi s tim, dajemo dva komentara:

Sl. 4 Raspad radioaktivnog jezgra u pokretu

a) Ako čestice imaju relativističke brzine, treba uzeti u obzir zavisnost mase od brzine i impuls shvatiti shodno relativističkoj formuli

$$\vec{p}=\frac{m_{0}\vec{v}_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}. \tag{15}$$

Ovde je $m_{0}$ masa mirovanja čestice, a $c$ brzina svetlosti.

b) Tela koja interaguju u neposrednom kontaktu (kao sudar bilijarskih kuglica), mogu se opisati trećim Njutnovim zakonom koji ispada poseban slučaj zakona održanja impulsa. Šta ako sudar ima karakter elektromagnetske ili nuklearne interakcije? Ni u jednom momentu tada ne možemo govoriti o direktnom, neposrednom sudaru. Štaviše, sudar može uključivati i transmutaciju čestica, tako da se prvobitne čestice više i ne pojave. Nestaju čestice s masama $m_{1}$ i $m_{2}$, a nastaju čestice s masama ${m'}_{1}$ i ${m'}_{2}$, itd.

Kako mnogi smatraju, tada je problematično govoriti o trećem Njutnovom zakonu te se moramo osloniti na zakon održanja impulsa. Promena impulsa čestica predaje se preko fizičkog polja, a brzina prenošenja ne može biti veća od brzine svetlosti.

Zbir impulsa polja i čestica konstantan je u svakom momentu vremena.

Zakon održanja energije

Priraštaj kinetičke energije sistema materijalnih tačaka jednak je radu koji vrše sve sile delujući na sve čestice sistema:

$$E_{\text{k}2}-E_{\text{k}1}=A. \tag{16}$$

U opštem slučaju, ovaj rad potiče od spoljašnjih i unutrašnjih sila

$$A=A_{\text{spolj}}+A_{\text{unut}}. \tag{17}$$

Unutrašnje sile mogu biti konzervativne i sve druge. (Sile se zovu konzervativne ako zavise jedino od relativnog položaja materijalnih tačaka u sistemu — takve su gravitacione sile, elastične sile i sl). Zbog toga se još može precizirati $A_{\text{unut}}=A_{\text{unut}}^{\text{kon}}+A_{\text{unut}}^{\text{druge}}$.

Rad unutrašnjih konzervativnih sila jednak je smanjenju potencijalne energije sistema

$$A_{\text{unut}}^{\text{kon}}=E_{\text{p}1}-E_{\text{p}2}. \tag{18}$$

Pretpostavimo da imamo izolovani sistem materijalnih tačaka u kome dejstvuju samo konzervativne sile. Pod tim okolnostima imamo

$$E_{\text{k}2}-E_{\text{k}1}=E_{\text{p}1}-E_{\text{p}2}. \tag{19}$$

Definišimo mehaničku energiju sistema kao zbir kinetičkog I potencijalnog dela

$$E_{\text{M}}=E_{\text{k}}+E_{\text{p}} \tag{20}$$

Onda primećujemo da relacija (19) tvrdi

$$E_{\text{M}2}=E_{\text{M}1}. \tag{21}$$

Drugim rečima, mehanička energija izolovanog sistema u kome deluju samo konzervativne sile (sistem bez trenja) ostaje stalna, premda se kinetička energija može pretvarati u potencijalnu, i obrnuto. Za koji se iznos $\Delta E_{\text{k}}$ poveća kinetička energija, za isti se iznos $\Delta E_{\text{p}}$ smanji potencijalna energija, i obrnuto. Energija se u toku vremena održava.

Pogledajmo primer sa slobodnim padanjem tela.

Sl. 5 Slobodno padanje tela sa plafona na pod laboratorije

Na polaznom nivou (1) telo poseduje potencijalnu energiju:

$$E_{1}=mgh. \tag{22}$$

Kada kamen počne da pada potencijalna energija se pretvara u kinetičku, tako da na nivou (2) imamo

$$E_{2}=\frac{m\cdot _{1}^{2}}{2}+mgh_{1}. \tag{23}$$

Ali mi znamo iz kinematike formulu za jednoliko ubrzano kretanje koja daje u uslovima našeg zadatka jednačinu . To znači da je u stvari $E_{2}=E_{1}$. Neposredno pre kontakta sa poglogom, nivo (3), telo ima energiju:

$$E_{3}=\frac{m\,}{}. \tag{24}$$

Opet, i vidimo da je $E_{3}=E_{1}$. Mehanička energija je konstantna u toku slobodnog padanja tela, u skladu sa analiziranim zakonom očuvanja u izolovanom i konzervativnom sistemu.

Ako sistem nije strogo konzervativan, mehanička energija ne mora nužno ostati na istom nivou; mogu se dešavati i transformacije energije u druge njene oblike: toplotnu energiju, hemijsku energiju, električnu energiju… Tada, međutim, smemo da se pozovemo na univerzalni princip održanja energije: Energija se ne može uništiti niti se može ni iz čega stvoriti, već samo može prelaziti iz jednog oblika u drugi.

Istorijski komentar

Formulisanje zakona održanja energije bilo je rezultat razvitka mehanike sredinom 19. veka. Ubrzo su fizičari uvideli da je sadržaj ovog zakona mnogo dublji. Došlo se do plodonosnih shvatanja o toplotnim pojavama i nastala je termodinamika kao bitan deo ukupne fizike. Pored toga ovaj zakon odigrao je veliku ulogu u pravilnom zasnivanju klasičnog elektromagnetizma. Pogledajmo jedan mali ali instruktivan primer kako je zakon držanja energije širio vidike fizike:

Za plafon smo fiksirali laku oprugu konstante elastičnosti $k$ a na donji kraj zakačili teg mase $m$. Potom smo pažljivo pustili masu — počelo je postepeno istezanje opruge. No mi smo napustili prostoriju i kad smo se vratili, masa je mirovala, a opruga bila istegnuta za visinu $h$. Kako to?

U tom položaju ravnoteže je

$$kh=mg, \tag{25}$$

pa je $h=mg/k$. Znamo da je potencijalna energija opruge porasla za

$$E_{\text{p}}^{\text{e}}=\frac{1}{2}kh^{2}. \tag{26}$$

Drugim rečima:

$$E_{\text{p}}^{\text{e}}=\frac{1}{2}mgh. \tag{27}$$

Ali je rad spoljašnje sile pri istezanju oprugu bio

$$A=mgh. \tag{28}$$

Tek pola tog rada utrošeno je na potencijalnu energiju. Šta se zbilo s drugom polovinom? Fizičari su morali da prošire vidike i shvatanja: ovaj zadatak nije čisto mehanički. Oscilovanje mase na opruzi povećava energiju haotičnog kretanja molekula u opruzi i molekula u vazduhu. Zahvaljujući trenju, zagreva se i opruga i okolina. Pola izvršenog rada otišlo je na te procese koji povećavaju unutrašnju energiju.

Balističko klatno

Pogledajmo jedan instruktivan primer. Analizirajmo rad balističkog klatna, koje je u stvari jedan sanduk napunjen peskom i obešen užetom o gredu na tavanici, Sl. 5. Ovakav jednostavan uređaj se koristi za određivanje brzine ispaljenog metka iz vatrenog oružja.

Sl. 6 Eksperiment sa balističkim klatnom

Pretpostavimo da se metak mase m kreće horizontalno brzinom $\vec{v}_{1}$ i udara u nepokretni ($\vec{v}_{2}=\vec{0}$) sanduk sa peskom mase M i zadržava se u njemu. Sanduk se pokrene brzinom $\vec{v}$ i podiže na visinu h.

Prema zakonu održanja impulsa, ukupni impuls sistema pre sudara metka i sanduka mora biti jednak ukupnom impulsu posle sudara (spoljašnjih sila koje bi delovale u posmatranom horizontalnom pravcu nema), te je

$$mv_{1}+0=(m+M)v. \tag{29}$$

Znači, brzina sanduka nakon sudara iznosi

$$v=\frac{m}{m+M}v_{1}. \tag{30}$$

Ali, tu brzinu još ne poznajemo, jer je i brzina metka nepoznata. Potrebno je da primenimo i zakon održanja energije. Kinetička energija sistema “sanduk + metak” je neposredno posle sudara

$$E_{\text{k}}=\frac{1}{2}\left(m+M\right)v^{2}=\frac{1}{2}\frac{m^{2}}{m+M}v_{1}^{2}. \tag{31}$$

Na osnovu zakona održanja mehaničke energije (zanemarujemo trenje u vazduhu), ova početna kinetička energija jednaka je potencijalnoj energiji kada sanduk dostigne maksimalnu visinu h, tj. tada se sva kinetička energija pretvori u potencijalnu; iz tog uslova imamo vezu

$$\frac{1}{2}\frac{m^{2}}{m+M}v_{1}^{2}=(m+M)gh. \tag{32}$$

Sada lako dobijamo konačan izraz za brzinu metka:

$$v_{1}=\frac{m+M}{m}\sqrt{2gh}. \tag{33}$$

Pošto se obično masa metka u odnosu na masu sanduka može zanemariti, dobar je i približan izraz

$$v_{1}\approx \frac{M}{m}\sqrt{2gh}. \tag{34}$$

Zaključimo da brzinu ispaljenog metka možemo odrediti mereći mase metka i sanduka i visinu do koje se popeo sanduk. Studenti neka razmisle o sledećem: može li se postavljeni zadatak rešiti tako što će se izjednačiti kinetička energija metka neposredno pre udara u sanduk sa kinetičkom energijom sanduka sa metkom neposredno posle udara?

Sudari

Sudar dva tela je vrlo složen proces, pa ćemo opisati samo nekoliko graničnih slučajeva, uz razne dopuštene aproksimacije. Proučavanje sudara inače daje dobre ilustracije efikasnosti primena zakona održanja impulsa i mehaničke energije. Rezultati dobijeni proučavanjem ovog problema koriste se u raznim oblastima fizike, a pomenimo molekulsko-kinetičku teoriju, oblast atomskih i nuklearnih sudara, kao i pojave radioaktivnog raspada.

Razmotrimo sada tzv. centralne sudare, i to dve bitne idealizovane varijante: elastične i neelastične (plastične) sudare. Sudar tela čiji vektori brzina leže na pravoj koja spaja njihove centre masa naziva se centralni sudar. Sudari su elastični kad posle sudara tela zadržavaju svoj prvobitni oblik, dakle ne deformišu se. U ovom slučaju važi zakon održanja mehaničke energije. Neelastični sudari deformišu tela; tada ne važi zakon održanja mehaničke energije, jer se jedan deo te energije troši u radu sila pri deformacionom procesu, a po pravilu se javljaju i drugi oblici energije (toplota npr.).

Elastični centralni sudari

Analiziraćemo sudar dve homogene kugle, koje čine izolovani sistem po pretpostavci. Dok sudar traje, jedan deo kinetičke energije utroši se na njihovu deformaciju, ali ova deformacija je elastična, tako da se ta energija vraća dejstvom elastičnih sila koje dovode tela u prvobitni oblik.

Pre sudara telo mase m1 ima brzinu $\vec{v}_{1}$, a telo mase m2 brzinu $\vec{v}_{2}$ (Sl. 7). Nakon sudara brzine kugli su promenjene; ostao je isti pravac i smer ali se promenio intenzitat brzina: brzina prve kugle je ${v'}$, a druge kugle ${v'}$. Sve se dešava u istoj ravni, pa je potencijalna energija stalna. Primenom zakona održanja impulsa dobijamo vezu

$$m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}{v'}_{1}+m_{2}{v'}_{2}. \tag{35}$$

Sl. 7 Sudar dve kuglice

Zakon održanja mehaničke energije nam daje:

$$\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}=\frac{1}{2}m_{1}{v'}_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}{v'}. \tag{36}$$

Sad možemo da nađemo brzine kugli posle sudara smatrajući da su nam poznate brzine kugli pre sudara i mase kugli. Poželjno je, međutim, prethodno izvršiti neke transformacije. Naime, naše jednačine možemo da napišemo na sledeći način:

$$m_{1}(v_{1}-{v'}_{1})=m_{2}({v'}. \tag{37}$$ $$m_{1}(v_{1}^{2}-{v'}_{1}^{2})=m_{2}({v'}. \tag{38}$$

U drugoj relaciji figuriše razlika kvadrata; podelimo drugu sa prvom. Dobićemo posle kraćeg sređivanja

$$v_{1}+{v'}_{1}={v'}. \tag{39}$$

Relacije (37) i (39) predstavljaju formule za izračunavanje brzina kugli nakon sudara (sada je to jednostavan sistem od dve linearne jednačine sa dve nepoznate). Eliminacijom promenljivih dobijamo konačne relacije za brzine kugli posle sudara:

$${v'}_{1}=\frac{2m_{2}v_{2}+(m_{1}-m_{2})v_{1}}{m_{1}+m_{2}}. \tag{40}$$ $${v'}_{2}=\frac{2m_{1}v_{1}+(m_{2}-m_{1})v_{2}}{m_{1}+m_{2}}. \tag{41}$$

Analiziraćemo nekoliko posebnih slučajeva.

1. Mase kugli su jednake, $\operatorname{m}_{1}=\operatorname{m}_{2}$. Tada lako dobijamo ${v'}_{1}=v_{2}$ i ${v'}_{2}=v_{1}$.

2. Mase kugli su jednake, a druga kugla pre sudara miruje. Dobijamo: ${v'}_{1}=0$ i ${v'}_{2}=v_{1}$.

U oba slučaja su kugle razmenile brzine: brzina prve kugle posle sudara je jednaka brzini druge kugle pre sudara, a brzina druge kugle posle sudara je jednaka brzini prve kugle pre sudara. U drugom slučaju se prva kugla zaustavila, a druga nastavila da se kreće brzinom koju je imala prva kugla pre sudara. Samim tim je i kompletna kinetička energija prešla sa prvog na drugo telo. Ovaj rezultat je veoma bitan za zaštitu od neutronskog zračenja. Neutron je neutralna čestica i ako možemo na njegov slučaj primeniti naš model sudara dve kuglice, zaključak je: na put neutrona bi valjalo postaviti materijal čija su jezgra iste (ili približno iste) mase kao što je masa neutrona; na taj način bi neutron izgubio najveći deo svoje energije. Ovo je u praksi potvrđeno, jer je ustanovljeno da je najbolja zaštita od neutrona ona koja je izrađena od lakih elemenata. Na primer, obična voda je odlična zaštita od neutronskog zračenja.

3. Sada uzmimo da je druga kugla nepokretna i znatno masivnija od prve: $v_{2}=0$, $m_{2}>>m_{1}$. Tada je brzina prve kugle posle sudara

$${v'}_{1}=-\frac{m_{2}}{m_{2}}v_{1}=-v_{1}. \tag{42}$$

a druge

$${v'}_{2}=\frac{2m_{1}}{m_{2}}v_{1}\approx 0. \tag{43}$$

Znači, prva kugla se odbija od druge praktično istim intenzitetom brzine, dok za drugu kuglu možemo reći da se nije ni pomerila. Promena impulsa prve kugle je

$$m_{1}v_{1}-(-m_{1}v_{1})=2m_{1}v_{1}. \tag{44}$$

Ovo je važan zaključak; koristi se na pr. u molekulsko-kinetičkoj teoriji pri izvođenju osnovne relacije za pritisak.

Neelasitični centralni sudari

Analizirajmo sada centralni neelastični sudar dve kugle masa m1 i m2 koje pre sudara imaju brzine $\vec{v}_{1}$ i $\vec{v}_{2}$. Posle sudara kugle se spoje i nastavljaju put brzinom $\vec{v}$, Sl. 8.

Sl. 8 Neelastični sudar dve kuglice

Za ovu situaciju smemo primeniti samo zakon održanja impulsa. Znači ukupan impuls pre i posle sudara je nepromenljiva veličina:

$$m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=(m_{1}+m_{2})v. \tag{45}$$

Odavde direktno sledi brzina slepljenih kugli posle sudara:

$$v=\frac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}. \tag{46}$$

Analizirajmo dva karakteristična slučaja.

a) Mase su jednake, $m_{1}=m_{2}$. Dobijamo: $v=\left(v_{1}+v_{2}\right)/2$.

b) Mase kugli su jednake i druga kugla je mirovala pre sudara; biće $v=v_{1}/2$.

Pri neelastičnom sudaru, deo energije koji se troši na deformaciju tela može se naći iz razlike početne i krajnje kinetičke energije tela. Kinetička energija dva tela pre sudara je:

$$E_{\text{k}1}=\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}. \tag{47}$$

Posle sudara ona iznosi

$$E_{\text{k}2}=\frac{1}{2}(\operatorname{m}_{1}+\operatorname{m}_{2})v^{2}. \tag{48}$$

Sada je lako odrediti traženu razliku energija:

$$\Delta E_{\text{k}}=E_{\text{k}1}-E_{\text{k}2}=\frac{m_{1}m_{2}}{2(m_{1}+m_{2})}(v_{1}-v_{2})^{2}. \tag{49}$$

U slučaju da je brzina druge kugle jednaka nuli, lako dobijamo:

$$\Delta E_{\text{k}}=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\operatorname{E}_{\text{k}1}. \tag{50}$$

Vidimo da bi, u slučaju identičnih kugli, tačno pola kinetičke energije otišlo na deformisanje tela, zagrevanje materijala i sl.

Mrtva petlja

U cirkusu i na vašarima imamo priliku da vidimo atraktivne vožnje po tzv. mrtvoj petlji. Voz ili bicikl (dalje ćemo govoriti telo) spušta se putanjom koja u podnožju prelazi u vertikalni krug. Osnovno pitanje koje se ovde postavlja je sa koje visine treba da krene telo bez početne brzine, pa da u najvišoj tački mrtve petlje ipak ne padne.

Sl.9 Mrtva petlja

Uzmimo da je telo startovalo sa visine H, Sl. 9*.* U tački B se ništa posebno ne dešava. . Deo putanje BC nije interesantan za razmatranje, tamo telo ne može pasti. Kada telo krene delom putanje CD telo može da padne, a najkritičnija je očigledno tačka D. Primenom zakona održanja energije za početnu tačku A i tačku D dobijamo:

$$mgH=mg2r+\frac{1}{2}mv^{2}. \tag{51}$$

Telo u tački D ima tangencijalnu brzinu $\vec{v}$, i da telo ne bi palo mora biti ispunjen uslov da je centrifugalna sila veća ili jednaka od sile Zemljine teže,

$$\frac{mv^{2}}{r}\ge mg. \tag{52}$$

Za kritičnu brzinu nalazimo:

$$v=\sqrt{\operatorname{rg}}. \tag{53}$$

Zamenimo ovu brzinu u (51); dobijamo:

$$mgH=mg2r+\frac{1}{2}mrg. \tag{54}$$

Odavde dobijamo najmanju visinu sa koje treba pustiti telo da bi prošlo celu putanju bez havarije:

$$H=\frac{5}{2}r. \tag{55}$$

Napomenimo na kraju da smo u analizi zanemarili trenje i da u najvišoj tački putanje telo praktično ne dodiruje petlju, pa nismo uračunavali reakciju podloge.