Frenelove formule

TRANSPORT OPTIČKOG ZRAČENJA

KROZ POVRŠINU DIELEKTRIKA

Frenelove formule

Već smo izučili zakone odbijanja (refleksije) i prelamanja (refrakcije) svetlosti. Našli smo odnose uglova koji određuju pravce prostiranja tri svetlosna talasa (upadni ili incidentni, odbijeni ili reflektovani i prelomljeni ili transmitovani). Ovde ćemo odrediti raspodelu intenziteta svetlosti između reflektovane i transmitovane komponente.

Dva homogena i izotropna, prozračna dielektrika dodiruju se na ravnoj, neograničenoj razdvojnoj površini (Sl. 1). Njihove permitivnosti su $\varepsilon _{1}$ i $\varepsilon _{2}$. Shodno Maksvelovoj teoriji, indeksi prelamanja su $n_{1}=\sqrt{\varepsilon _{1}}$ i $n_{2}=\sqrt{\varepsilon _{2}}$, budući da su permeabilnosti $\mu _{1}$ i $\mu _{2}$ za praktično sve dielektrike o kojima je ovde reč, u vidljivoj oblasti spektra, približno jednaki jedinici. Iz sredine 1 upada na 2 ravanski

Sl. 1 Uz izvođenje Frenelovih formula

monohromatski svetlosni talas. Vektor jačine električnog polja tog upadnog talasa (svetlosni vektor) obeležimo sa $\vec{E}_{\text{i}}$. Njega je pogodno razložiti na dve međusobno upravne komponente, $\vec{E}_{\text{i}}=\vec{E}_{\text{i}}^{\text{p}}+\vec{E}_{\text{i}}^{\text{s}}$. Ovde indeks p označava vektor koji leži u incidentnoj ravni $\left(x,z\right)$, a indeks s stoji za vektor koji pripada sagitalnoj ravni (tj. vektor koji je normalan na incidentnu ravan, usmeren duž $y$-ose). Na sličan način razložimo i svetlosne vektore reflektovanog i transmitovanog talasa; dobićemo, redom, $\vec{E}_{\text{r}}=\vec{E}_{\text{r}}^{\text{p}}+\vec{E}_{\text{r}}^{\text{s}}$, $\vec{E}_{\text{t}}=\vec{E}_{\text{t}}^{\text{p}}+\vec{E}_{\text{t}}^{\text{s}}$. Napišimo $x$, $y$ i $z$ komponente svetlosnih vektorâ sva tri talasa:

$$E_{\text{ix}}=E_{\text{i}}^{\text{p}}\,\text{cos}\theta _{\text{i}},\quad E_{\text{rx}}=E_{\text{r}}^{\text{p}}\,\text{cos}\theta _{\text{i}},\quad E_{\text{tx}}=E_{\text{t}}^{\text{p}}\,\text{cos}\theta _{\text{t}} \tag{1a}$$ $$E_{\text{iy}}=E_{\text{i}}^{\text{s}},\quad E_{\text{ry}}=E_{\text{r}}^{\text{s}},\quad E_{\text{ty}}=E_{\text{t}}^{\text{s}} \tag{1b}$$ $$E_{\text{iz}}=-E_{\text{i}}^{\text{p}}\,\text{sin}\theta _{\text{i}},\quad E_{\text{rz}}=-E_{\text{r}}^{\text{p}}\,\text{sin}\theta _{\text{i}},\quad E_{\text{tz}}=-E_{\text{t}}^{\text{p}}\,\text{sin}\theta _{\text{t}} \tag{1c}$$

Znaci u ovim izrazima su u skladu sa uslovno usvojenim pozitivnim smerovima p i s vektora na Sl. 1.

Dalje se primenjuju granični uslovi za elektromagnetske veličine na razdvojnoj površini: tangencijalne komponente vektorâ $\overrightarrow{E}$ i $\overrightarrow{H}$ (jačinâ električnog i magnetskog polja) ne trpe skok na granici između dve posmatrane sredine. Taj deo računa ćemo preskočiti. Na kraju se dobiju ovi rezultati:

$$E_{\text{r}}^{\text{p}}=E_{\text{i}}^{\text{p}}\,\frac{\text{tg}(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\text{tg}(\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}, \tag{6a}$$ $$E_{\text{r}}^{\text{s}}=-E_{\text{i}}^{\text{s}}\,\frac{\text{sin}(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\text{sin}(\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}, \tag{6b}$$ $$E_{\text{t}}^{\text{p}}=E_{\text{i}}^{\text{p}}\,\frac{2\text{sin}\theta _{\text{t}}\text{cos}\theta _{\text{i}}}{\text{sin}(\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})\text{cos}(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}, \tag{6c}$$ $$E_{\text{t}}^{\text{s}}=E_{\text{i}}^{\text{s}}\,\frac{2\text{sin}\theta _{\text{t}}\text{cos}\theta _{\text{i}}}{\text{sin}(\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}. \tag{6d}$$

Ovo su čuvene Frenelove formule. Pomoću njih se mogu naći amplitude re

flektovane i transmitovane svetlosti, samim tim i pripadajući intenziteti. Formule je izveo Žan-Ogisten Frenel 1923. godine koristeći fizički neusaglašen model svetlosnog etra kao luminiferne sredine. Razvojem nauke taj je koncept prevaziđen, ali je zadivljujuća činjenica da je Frenelov matematički tretman ostao validan i za neprotivrečnu elektromagnetsku teoriju svetlosti u kojoj se svetlosne oscilacije poistovećuju sa oscilacijama svetlosnog vektora (on izaziva, prema opitnim podacima, većinu svetlosnih efekata).

Uvid u osnovni fizički sadržaj Frenelovih formula

Brusterov zakon

Pomoću jednostavne eksperimentalne šeme sa Sl. 2 možemo shvatiti osnovne posledice Frenelovih formula. Koristićemo, kao i u nekim ranijim prilikama, školski He-Ne laser male snage (0,5 $\,$ mW). Raspolažemo prozračnim poludiskom (na primer, od pleksiglasa, poluprečnika 10 cm i debljine 1 cm) na koji usmeravamo laserski zrak po normali na cilindričnu površinu (duž radijusa) tako da svetlost izlazi kroz centar C granične kružne površine. Na kružnoj skali $s$ se mogu videti svetle mrlje, mesta gde dospevaju prelomljeni i odbijeni zrak.

Ako je okolna sredina vazduh, zrak se prelama od normale te je $\theta _{\text{t}}>\theta _{\text{i}}$. Prvo, postavimo laser tako da ne postoji s komponenta svetlosnog vektora laserskog zraka (svetlosni vektor leži u incidentnoj ravni). Povećavajmo ugao $\theta _{\text{i}}$. Jednog momenta primećujemo da se ugasio odbijeni zrak R. Na skali očitavamo da je tada $\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}}=\pi /2$. Taj naročiti upadni ugao zove se Brusterov ugao i označava se $\theta _{\text{B}}$.

Sl. 2 Uz analizu posledica Frenelovih formula

U prvoj Frenelovoj formuli primećujemo matematičku mogućnost da se ovaj fenomen opiše. Zbilja, ona daje $\text{tg}(\theta _{\text{B}}+\theta _{\text{t}})=\infty$, tj. $E_{\text{r}}^{\text{p}}=0$, a kako je već $E_{\text{r}}^{\text{s}}=0$, reflektovanog zraka ne može biti. Iz zakona prelamanja sledi $n\,\text{sin}\theta _{\text{B}}=\text{sin}(\pi /2-\theta _{\text{B}})$, tj.

$$\text{tg}\theta _{\text{B}}=\frac{1}{n}, \tag{7}$$

gde je $n$ indeks prelamanja materijala poludiska (ili, u opštem slučaju, količnik indeksâ prelamanja druge i prve sredine). Iz Brusterovog zakona (7) može se izračunati traženi ugao za date materijale. Na primer, u našem opitu kada je $n\simeq 3/2$ sledi $\theta _{\text{B}}=33,69^{0}$.

Poznato je sledeće pojednostvljeno fizičko objašnjenje Brusterovog efekta. U električnom polju svetlosnog talasa transformišu se molekuli u površinskom sloju u elementarne dipole. Ose dipola imaju pravac svetlosnog vektora. Maksvelova teorija razjašnjava da dipol ne može zračiti duž svoje ose. Pri Brusterovom upadnom uglu, pravac reflektovanog talasa bi morao biti istovetan sa pravcem svetlosnog vektora, tj. ose dipola. Otuda sledi da se reflektovani talas pod tim okolnostima i ne može formirati.

Ako na razdvojnu površinu upada prirodna svetlost, reflektovani zrak će postojati. Međutim, reflektovana svetlost će u tom slučaju biti ravanski polarizovana, njen svetlosni vektor će u celosti pripadati s-ravni.

Na mestima nekog optičkog sistema, kada je poželjno smanjiti gubitke svetlosne energije na refleksiju — upotrebljavaju se Brusterovi prozori. Na takav primer nailazimo kod konstrukcije laserskih cevi. Istovremeno, Brusterovi prozori garantuju da, ako to želimo, možemo imati ravanski polarizovanu svetlost na izlazu.

Normalna incidencija svetlosti

Koeficijent refleksije za s-polarizaciju minimalan je pri normalnom upadanju svetlosnog talasa, tj. kada je $\theta _{\text{i}}=0$. Praktično se taj nivo refleksije održava i kada upadni ugao ima desetak, pa i više stepeni. U primenama je česta situacija normalne, ili skoro normalne incidencije. Stoga je korisno izučiti aproksimativne izraze kada je $\theta _{\text{i}}\approx 0$.

Znamo da je za mali argument valjano uprošćavanje tipa $\text{tg}x\simeq \sin x\simeq x$. Za mali ugao $\theta _{\text{i}}$ je, prema zakonu prelamanja svetlosti, $n_{1}\theta _{\text{i}}\simeq n_{2}\theta _{\text{t}}$. Frenelove jednačine onda daju:

$$\rho \simeq \int^{2} . \tag{18}$$

Slično dobijamo za koeficijent transmisije

$$\tau \simeq \frac{n_{2}}{n_{1}}\,\int^{2} . \tag{19}$$

Primetimo prvo da refleksije nema u graničnom slučaju $n_{2}\to n_{1}$, što je logično očekivati. U optičkim uređajima česta je razdvojna površina staklo/vazduh. Uzimajući u tipičnom slučaju da je $n_{2}\simeq 1,5$ i $n_{1}\simeq 1$, izračunavamo da se reflektuje nekih $4$ procenta upadnog intenziteta. To i nije malo ako se ima u vidu da takvih površina može da bude i nekoliko u složenijim optičkim sistemima. O mogućnostima redukcije reflektovane svetlosti biće govora na drugom mestu u knjizi. Ovde naglasimo sledeće. Ako treba spojiti dva elementa od stakla a da se izbegnu (što je moguće više) neželjene refleksije, mora lepak biti, razume se, providan, ali i imati indeks prelamanja koji je blizak indeksu prelamanja upotrebljenog stakla. Tako se ostvaruje dobar i mehanički i optički kontakt. Na primer, neretko se kao lepak koristi kanadski balzam. Njegov indeks prelamanja je $n_{\text{kb}}=1,54$. Na granici staklo/balzam je dakle $n_{2}-n_{1}=1,52-1,54=-0,02$. Zato je $\rho \simeq 4,27\cdot 10^{-5}$, a to je vrednost koja se praktično može zanemariti.

Fazni odnosi svetlosnih talasa

Pri prelamanju svetlosti ne dolazi do faznog skoka ni za p- ni za s-polarizaciju. Opit potvrđuje takav zaključak koji sledi iz Frenelovih formula. Zbilja, posmatrajući zadnje dve relacije u jednačinama (6) zaključujemo da su znaci $E_{\text{t}}^{\text{s}}$ i $E_{\text{i}}^{\text{p}}$ identični, i to za bilo koje vrednosti uglova $\theta _{\text{i}}$ i $\theta _{\text{t}}$.

Drugačije je pri odbijanju svetlosti. Fazni odnosi tada zavise i od indeksa prelamanja dve sredine, i od samog upadnog ugla. Ako je $n_{2}>n_{1}$, $E_{\text{r}}^{\text{s}}$ uvek će biti drugačijeg znaka od $E_{\text{i}}^{\text{s}}$, tj. faza se menja za $\pi$. Uz isti odnos indeksâ prelamanja ($n_{2}>n_{1}$) komponenta $E_{\text{r}}^{\text{p}}$ trpi fazni skok za $\pi$ tek kada je $\theta _{\text{i}}>\theta _{\text{B}}$. Prva Frenelova formula predviđa naglu promenu faze za $\pi$ u samoj tački $\theta _{\text{i}}=\theta _{\text{B}}$. Kako ovo nije primećeno u opitima, može se govoriti o izvesnom defektu u Frenelovim formulama (objašnjenje fenomena izlazi iz okvira našeg razmatranja).

Ako je $n_{2}<n_{1}$ nema promene faze u reflektovanom talasu, bez obzira da li se radi o s- ili p-polarizaciji.

Na kraju, naglasimo važan zaključak. Pri refleksiji od optički gušće sredine menja se faza svetlosnog vektora reflektovanog talasa za $\pi$. Takve karakteristične promene nema pri refleksiji svetlosnog talasa od optički ređe sredine. Ove razlike treba imati u vidu naročito u raznim interferencionim situacijama, o čemu ćemo govoriti u poglavlju o interferenciji.