Paradoks Sancha Panze

Miloš Babović, Pariske komune 63, Novi Beograd, Srbija

Vukota Babović, Piva Karamatijevića 29, Beograd, Srbija

E-mail: milos.babovic@gmail.com; bvukot@sezampro.rs

1. U svijetu se ove godine obilježava 400 godina od smrti slavnog pisca Migela de Servantesa (1547-1616). Njegov roman Don Quijote de la Mancha se smatra prvim modernim romanom svjetske literature i najprevođenija je knjiga poslije Biblije. Danas je teško naći obrazovanu osobu koja nije čula za ovog pravdoljubivog i hrabrog viteza i za njegovog vjernog štitonošu Sancho Panza. U svako doba bismo mogli i da ih nacrtamo, toliko je taj književni par prisutan u našoj mašti. Don Kuijote je visok, vižljast kopljanik, a Panza nizak i debeljuškast paž. Tako ćemo ih ovdje i skicirati, bez umjetničkih pretenzija, slika 1.

Slika 1. Najslavniji dublet svjetske književnosti: Don Kuijote i Sancho Panza uz modele njihovih figura

Za potrebe našeg članka moramo ući u još veće stilizacije. U izračunavanjima, viteza ćemo reprezentovati valjkom debljine $\delta$ i visine $h$, a njegovog saputnika valjkom debljine $2\delta$ i visine $3h/4$.

Zamislimo sada Kuijota i Panzu da hodaju utabanom stazom, koja se pruža po prostranoj, horizontalnoj ravnici, i gledaju na zapad. Dan je vedar i dva putnika vide Sunce na samom zalatku. Iza njih se prostiru njihove sjenke. Koliko je dugačka svaka od tih sjenki? I koliko je sjenka viteza veća od sjenke paža? Odgovorićemo na ova pitanja nešto kasnije; prvo da pogledamo kako je u jednom drugom romanu došlo do slične situacije koju je komentarisao sam autor romana.

2. Djelo Tomasa Hardyja „Tess of the D’Urbervilles — The pure woman” [1] smatra se jednim od najboljih romana engleske književnosti. Ovo djelo preveo je na (ondašnji) srpskohrvatski jezik Berislav Grgić 1965. godine [2]. Mimo svojih velikih i priznatih umjetničkih kvaliteta, roman pruža zadovoljstvo čitaocu fizičaru da stručno obrati pažnju na nekoliko pasusa u kojima pisac koristi fiziku da uspješnije opiše okolnosti u kojima se odvija određena književna radnja. Mi smo se ovdje opredijelili za možda najinteresantniji primjer te vrste. Prvo ćemo dati citat koji nam je privukao pažnju [3]:

„Sunce je bilo toliko blizu zemlji, a tratina tako pljosnata, da bi se sjene Clarea i Tesse protezale po četvrt milje ispred njih, kao dva dugačka prsta, koji su pokazivali u daljinu, tamo, gdje su zeleni aluvijalni prostori dodirivali kose obronke doline.”

Svakako je tačno, svako od nas to može da potvrdi, da se senka čovjeka koji stoji na horizontalnoj podlozi, na tratini, znatno izduži u trenucima kad Sunce zalazi. Ali, koliko je dugačka takva sjenka? Možda je neograničena? Zavisi li sjenka od visine čovjeka? Možda zavisi linearno? Ova pitanja traže odgovore i odgovori nisu nezanimljivi.

Hardy smatra da je senka ograničena. On čak daje i procjenu dužine sjenke: četvrtina milje. Postoje razne vrste mjera za dužinu koje se sve zovu milja; mi ćemo uzeti da se misli, kao obično [4], na statute mile, dužinu od (vrlo) približno 1600 metara. Tako, možemo uzeti da četvrtina milje iznosi 400 metara. Mi smatramo da pisac nije slučajno rekao da ispred njegovih književnih junaka vidimo tog vedrog, tihog dana na smiraju sjenku od četiri stotine metara. (Momak i djevojka gledaju s nadom prema istoku, ali tamo se zloslutno proteže njihova duga sjenka.) On je baš htio, verujemo, da se posluži donekle egzaktnim podatkom, što se savršeno uklapa u poetiku njegovog narativa. Inače, majstor riječi njegovog ranga mogao je na mnogo načina da izbjegne uplitanje u konkretnu mjeru sjenke. Nije rijetka stvar, i savršeno je razumljivo da je tako, da pisci koriste znanja iz fizike kako bi dobili na uvjerljivosti pripovijedanja (Jules Verne je opštepoznati primer, mada samo jedan od mnogih).

3. Danas su učenicima bliske televizijske istraživačke tehnike, oličene u popularnim serijalima Mythbusters ili Galileo; u razvijanju priče, tamo se često zahtijeva gradacioni princip, gdje se istini izokola pristupa. Stoga se i mi ovdje na početku pitamo pod kojim bi to uslovima Hardyjev zaključak ispao naučno korektan? Hardyjevo rešenje bi moglo biti tačno ako bismo shvatili Sunce kao tačkasti izvor svetlosti pod nekim uglom $\theta$ nad horizontom. Pogledajmo sliku 2. Sunce, kao tačkasti izvor

Slika 2. Mogući Hardyjev pristup problemu

svijetlosti, obasjava osobu visine $h$. Hardyjeva dužina senke je očito

$$r_{\text{H}}=\frac{h}{\text{tg}\theta }. \tag{1}$$

Odavde bi moglo da slijedi $r_{\text{H}}=400$ metara ako bi bilo $\theta \approx 0.0045$ radijana, odnosno $\theta \approx 0.26$ stepeni. Tako, tačkasti izvor svijetlosti može praviti iza predmeta proizvoljno dugu punu sjenku, u aproksimaciji geometrijske optike.

Sunce, međutim, nije tačkasti izvor svijetlosti. Ako ništa drugo, svako pomračenje naše zvijezde uvjerava nas da mi vidimo sunčev disk pod ne tako sićušnim uglom. Zbog toga treba da se kritički osvrnemo na gornji uprošćeni prikaz situacije.

4. Pristupimo dakle malo drugačije zadatku koji je Hardy „postavio”. Poslužimo se skicom sa slike 3.

Slika 3. Sjenka iza Tessinog mladića Clarea

Žuti krug prečnika $D$ predstavlja Sunce na zapadnom horizontu. Zraci sa Sunca obasjavaju čovjeka (plavi krug) koji je modeliran kao pravi kružni valjak prečnika $2b$ i visine $h$. Od čovjeka se proteže puna senka dužine $s$. Ako uočimo na slici 3 pravougli trougao čije su katete $s$ i $b$, vidimo da je njegova hipotenuza $c$. Rastojanje do Sunca obilježeno je sa $R$. Za ugao pod kojim čovjek vidi disk Sunca pišemo

$$\tan \left(\frac{\varphi }{2}\right)=\frac{D/2}{R}. \tag{2}$$

To je mali ugao te je, približno, radijanska mjera Sunčevog diska

$$\varphi \approx \frac{D}{R}. \tag{3}$$

Stavljajući poznate vrijednosti za prečnik Sunca $D=1.393\cdot 10^{6}$ km i poluprečnik ekliptike (rastojanje Zemlja-Sunce, astronomska jedinica) $R=1.496\cdot 10^{8}$ km, izračunavamo

$$\varphi =9.3\cdot 10^{-3}\;\text{rad}. \tag{4}$$

Sunce je za nas svijetli, užareni disk kojeg uočavamo pod uglom od $0.533$ stepena (vrlo približno pola stepena). Ovo je standardna i odavno poznata vrijednost. Ponekad se daje ovakvo efektno poređenje: Ako čitamo knjigu i na stranici uočavamo slovo o prečnika 2.3 mm, mi ga posmatramo sa daljine jasnog vida $L=25$ cm pod uglom iz relacije (4). (Posebno je zabavan fakt da i Mjesečev disk ima skoro istu ugaonu mjeru.)

Sad naglasimo ovaj važan zahtjev: Data tačka će ležati u potpunoj sjenci samo ako je za nju ugaona mera $\beta$ zaklona koji uslovljava potpunu sjenku veća od ugaone mjere Sunca, to jest ako je ispunjen uslov $\beta >0.533$ stepena. Dužina $2b$ vidi se pod uglom $\varphi$ s rastojanja $s$ i iz pomenutog trougla sa slike 3 vidimo da je $\sin \left(\varphi /2\right)=b/c$, odakle je

$$c=b/\sin \left(\varphi /2\right). \tag{5}$$

Pošto je $\sin \left(\varphi /2\right)=0.00465$ dobijamo

$$c=215b. \tag{6}$$

Ova formula ponekog može i da iznenadi. Dužina sjenke je povezana sa debljinom valjka. Ali šta je sa visinom književnog junaka Clarea? Ko nebrižljivo prilazi problemu povezuje instinktivno dužinu sjenke sa visinom osobe. Istina, i taj se aspekt mora analizirati. Zato pogledajmo sliku 4.

Slika 4. Uticaj visine valjka na dužinu pune sjenke

Tamo vidimo valjak visine $h$ obasjan zracima Sunca koji upadaju pod malim uglom $\theta$ prema horizontalnoj ravni. Uzmimo neku konkretnu vrijednost, na primjer $\theta =2$ stepena. Pravougli trougao s katetama $s$ i $h_{\text{k}}$ upravo ima izračunatu hipotenuzu $c$ i oštri ugao $\theta$. Neka tačka na kateti $s$ je pouzdano u sjenci i jedino dio stuba visine $h_{\text{k}}$ relevantan je za izračunavanje dužine potpune sjenke; tu smo dužinu nazvali kritična dužina. Ostatak stuba dužine $\Delta h=h-h_{\text{k}}$ ovdje je nebitan. On učestvuje u formiranju polusjenke u oblasti $s_{1}$; ta je polusjenka blijeda i najvjerovatnije teško uočljiva [5]. To znači da je dužina sjenke

$$s=c\cos \theta =215b\,\cos \theta. \tag{7}$$

Modelirajmo Clarea ovako: On je valjak visine $h=180$ cm i širine $2b=50$ cm. Tada izračunavamo iz formule (7) da je $s=53.7$ metra; slobodno možemo zaokružiti $s\approx 54$ m. Ovo je dužina sjenke kratko vrijeme prije zalaska sunca ($\theta =2^{^{\circ}}$). Da budemo sasvim egzaktni, još izračunajmo kritičnu visinu Clarea. Sa slike 4 vidimo da je

$$h_{\text{k}}=c\sin \theta =215b\,\sin \theta, \tag{8}$$

odnosno $h_{k}=1.88$ metara. To znači da je u ovom primjeru $h<h_{\text{k}}$. Čitalac Hardyjevog romana ima utisak da je Tessa za nekoliko centimetara niža od Clarea. Tako, dužine sjenki mladića i djevojke proporcionlne su njihovim visinama.

Zaključujemo da je Hardyjem procijenjena sjenke (1) oko osam puta duža od realne sjenke koja je nešto malo duža od pedeset metara. Možemo simbolično stati na stranu velikog pisca koji je za života trpio ogromne pritiske javnog mnjenja zbog navodnog kvarenja društvenog morala kasne viktorijanske ere u Engleskoj. Hardy je najbolje znao kakva se licemjerna sjenka nadvila nad njegovim podnaslovom koji Tessu kvalifikuje kao čistu dušu, te je Tessinu sjenku produžio preko njene fizičke mjere. Sjenke Clarea i Tesse ostaju nedeformisane isto kao i njihovi karakteri; ovaj fakt snažno podržava opisanu emotivnu sjedinjenost para, ali i sumoran je znak bliske zle sreće jedne nedužne mlade žene i čovjeka upletenog u složenu mrežu društvenih odnosa.

5. Vrijeme je sad da se vratimo pitanju koje smo postavili na početku članka. Ostavili smo naša dva nepomirljiva oponenta svim nepravdama ovog svijeta kako umorno ali odlučno koračaju ravnicom prema zapada gdje će za neki minut zaći Sunce. Pitali smo se kao fizičari kolike se sjenke pružaju iza njihovih figura i u kakvoj su proporciji te sjenke. Relevantne parametre koji se odnose na formiranje sjenki (pri $\theta =2$ stepena) ova dva putnika izračunali smo prema gore obrazloženim formulama i prikazali ih u Tabeli.

Tabela

dužine	Don Kuijote	Sancho Panza	komentar
$2b$[m]	0.4	0.8	slika 2
$h$[m]	2	1.5	slika 3
$c$[m]	43	86	slika 2; jedn (5)
$h_{\text{k}}$[m]	1.5	3	slika 3; jedn(7)
$s$[m]	43	86	slika 2, jedn (6)

Ako je neko prebrzo zaključio da je vitezova sjenka duža, i to za faktor 4/3 — moramo ga razočarati. Iz prethodnog izlaganja proizilazi da širina čovjeka preko leđa (debljina valjka) presudno određuje dužinu sjenke. Tako, sjenka Sancha Panze je duža od sjenke visokog Don Kuijota! Za ne mali broj čitalaca ovaj odgovor će biti paradoksalan i u tome je i primijetna heuristička vrijednost ovog zadatka.

6. U zaključku još naglasimo. Linearna zavisnost dužine geometrijske sjenke od visine valjka, $s=f\left(h\right)$, važi samo do jedne kritične visine, $h_{\text{k}}$, koja zavisi od debljine valjka i ugla upada sunčevih zraka. Na slici 5 prikazana je zavisnost dužine sjenke od visine valjka.

Slika 5. Zavisnost geometrijske sjenke od visine valjka

Nadamo se da izložena lekcija iz geometrijske optike u svojoj egzaktnosti nije pokvarila Hardyjev prvorazredni prikaz sentimentalne veze dve časne jedinke s kraja devetnaestog veka, koje su neuspešno tragale za svojom ljudskom srećom u predelima Engleske oko paganskog kompleksa Stonehenge. Niti je umanjila dostojanstvo jednog viteza od prije 400 godina koji služi kao etički svetionik mnogim generacijama čitalaca, sve do današnjih dana.

Literatura

[1] Thomas Hardy, Tess of the D’Urbervilles — The pure woman, Macmillan and Co. Limited St. Martin’s Street London 1928.

[2] Thomas Hardy, TESSA iz porodice D’Urberville ili Čista žena, “Zora”, Zagreb 1965.

[3] U prevodu [2] može se ovo mjesto naći na strani 200.

[4] https://simple.wikipedia.org/wiki/Mile

[5] N Poljak, Par zanimljivih crtica o pomrčini Sunca. Zašto prosječna osoba nije primijetila pomrčinu? Matemtičko-fizički list LXV 4 (2014 — 2015).

…

Publikovano

MFL, Zagreb, godište 2016/1017